6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = 5х - 9 и проходит через центр окружности x₂ + y₂ - 6x + 2y + 6 = 0.

Решение:

1. Находим центр окружности

Общий вид уравнения окружности:
\[ (x - a)² + (y - b)² = r² \]

Раскроем скобки:
\[ x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² \]

Перегруппируем члены:
\[ x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0 \]

Сравниваем это с данным уравнением окружности:
\[ x² + y² - 6x + 2y + 6 = 0 \]

Приравниваем коэффициенты:

−2ax = −6x => 2a = 6 => a = 3

−2by = 2y => −2b = 2 => b = -1

Следовательно, центр окружности находится в точке (3; -1).

2. Находим уравнение параллельной прямой

Прямая, параллельная прямой
\[ y = 5x - 9 \]

будет иметь тот же угловой коэффициент, то есть k = 5.

Общий вид уравнения прямой:
\[ y = kx + b \]

Подставляем k = 5:
\[ y = 5x + b \]

Эта прямая проходит через центр окружности (3; -1). Подставим эти координаты в уравнение прямой, чтобы найти b:

\[ -1 = 5(3) + b \]

\[ -1 = 15 + b \]

\[ b = -1 - 15 \]

\[ b = -16 \]

Таким образом, уравнение искомой прямой:

\[ y = 5x - 16 \]

Ответ: Уравнение прямой: \[ y = 5x - 16 \].