6) \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{9}\)

Область определения задаётся условием \(x\geq1\). Поскольку \(\sqrt{9}=3\), уравнение принимает вид \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+1}=3\).

Положим \(a=\sqrt{x-1}\). Тогда \(a\geq0\), \(x=a^2+1\), а из уравнения \(\sqrt{2x+1}=3-a\), поэтому также \(a\leq3\).

Возводим последнее равенство в квадрат и подставляем \(x=a^2+1\): \(2a^2+3=(3-a)^2\). Отсюда \(a^2+6a-6=0\), поэтому \(a=-3\pm\sqrt{15}\). С учётом \(a\geq0\) получаем \(a=\sqrt{15}-3\).

Тогда \(x=a^2+1=(\sqrt{15}-3)^2+1=25-6\sqrt{15}\). Это значение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: \(x=25-6\sqrt{15}\).