6. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель — \(q\). Тогда:

\[b_2+b_3=b_1q(1+q)=30,\qquad b_4-b_2=b_1q(q^2-1)=90.\]

Делим второе равенство на первое:

\[\frac{q^2-1}{q+1}=3\Rightarrow q-1=3\Rightarrow q=4.\]

Из \(b_1q(1+q)=30\) получаем \(b_1\cdot4\cdot5=30\), поэтому \(b_1=\frac32\).

Сумма первых пяти членов:

\[S_5=b_1\frac{q^5-1}{q-1}=\frac32\cdot\frac{4^5-1}{3}=\frac{1023}{2}.\]

Ответ: \(S_5=\frac{1023}{2}=511.5\).