6. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Решение:

Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v \) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время в пути по течению:

\[ t_1 = \frac{132}{v+5} \text{ (часов)} \]

Время в пути против течения:

\[ t_2 = \frac{132}{v-5} \text{ (часов)} \]

Общее время в пути равно общему времени, затраченному на всю поездку, минус время стоянки:

\( 32 \text{ часа} - 21 \text{ час (стоянка)} = 11 \text{ часов} \)

Таким образом, сумма времени движения по течению и против течения равна 11 часам:

\[ t_1 + t_2 = 11 \]

\[ \frac{132}{v+5} + \frac{132}{v-5} = 11 \]

Разделим обе части уравнения на 11:

\[ \frac{12}{v+5} + \frac{12}{v-5} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 12(v-5) + 12(v+5) = (v+5)(v-5) \]

\[ 12v - 60 + 12v + 60 = v^2 - 25 \]

\[ 24v = v^2 - 25 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ v^2 - 24v - 25 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( v \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)

Найдем корни для \( v \):

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 25 \) км/ч.

Ответ: 25 км/ч.