6. Тип 16 № 1336 i Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Пусть BH и CK — высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC соответственно. Они пересекаются в точке M. Треугольник ABC — равнобедренный, AB = AC.

Рассмотрим четырехугольник AMHN, где H — точка на AC, N — точка на AB. Углы AHM и AKM равны 90° (так как это высоты).

В четырехугольнике BKMC, \( \angle BKC = 90^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle BMC = 140^{\circ} \).

В четырехугольнике BKMC: \( \angle KBC + \angle BKC + \angle KMC + \angle CMB = 360^{\circ} \) - это неверно, так как BKMC не является выпуклым четырехугольником в данном контексте.

Рассмотрим треугольники BCM и BHM. Это не поможет.

Правильный подход: Рассмотрим четырёхугольник BKMC. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. \( \angle BKC = 90^{\circ} \) (высота к AC), \( \angle BHC = 90^{\circ} \) (высота к AB).

Рассмотрим четырёхугольник BKMC. \( \angle CKB = 90^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник BKMC. \( \angle BKC = 90^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

Правильный подход:

Пусть BH и CK — высоты, проведенные к боковым сторонам AC и AB соответственно. Они пересекаются в точке M.

Рассмотрим четырёхугольник AKMH. \( \angle AKM = 90^{\circ} \) и \( \angle AH M = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике AKMH равна 360°.

\( \angle KAM + \angle AKM + \angle KMH + \angle MHA = 360^{\circ} \).

\( \angle BAC + 90^{\circ} + \angle AMK + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle BAC + \angle AMK = 180^{\circ} \).

Вертикальные углы \( \angle AMK = \angle BMC = 140^{\circ} \).

\( \angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Ответ: 40°, 70°, 70°