6. Тригонометрические выражения и уравнения Тригонометрические выражения Найдите: a) cos α, если sin α = √3/2 и α ∈ (π/2; π); б) sin α, если cos α = -√3/2 и α ∈ (π/2; π).

Решение:

а) Найдем cos α:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставляем значение \( \sin \alpha \):

\( (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} \).

По условию, \( \alpha \) находится во II координатной четверти (\( \alpha \) ∈ (π/2; π)), где косинус отрицателен.

Следовательно, \( \cos \alpha = -\frac{1}{2} \).

б) Найдем sin α:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставляем значение \( \cos \alpha \):

\( \sin^2 \alpha + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 \)

\( \sin^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} \).

По условию, \( \alpha \) находится во II координатной четверти (\( \alpha \) ∈ (π/2; π)), где синус положителен.

Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \).

Ответ: а) cos α = -1/2; б) sin α = 1/2.