Найдите: sin 8α / sin 4α, если cos 4α = 0,7; cos 2α / sin 4α, если sin 2α = 0,4.

Решение:

а) Найдем sin 8α / sin 4α, если cos 4α = 0,7:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Тогда \( \sin 8\alpha = 2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha \).

Подставим это в выражение:

\( \frac{\sin 8\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2 \cos 4\alpha \).

По условию \( \cos 4\alpha = 0.7 \).

\( 2 \cos 4\alpha = 2 \times 0.7 = 1.4 \).

б) Найдем cos 2α / sin 4α, если sin 2α = 0,4:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \).

Подставим это в выражение:

\( \frac{\cos 2\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} \).

Сократим \( \cos 2\alpha \) (при условии, что \( \cos 2\alpha \neq 0 \)):

\( \frac{1}{2 \sin 2\alpha} \).

По условию \( \sin 2\alpha = 0.4 \).

\( \frac{1}{2 \times 0.4} = \frac{1}{0.8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \).

Чтобы убедиться, что \( \cos 2\alpha \neq 0 \), найдем \( \cos 2\alpha \) из \( \sin 2\alpha = 0.4 \) с помощью \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( \cos^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha = 1 - (0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \).

\( \cos 2\alpha = \pm \sqrt{0.84} \neq 0 \). Значит, сокращение было корректным.

Ответ: а) 1.4; б) 1.25.