Найдите: a) sin (3π/2 - α), если sin α = -0,6 и α ∈ (π/2; 3π/2); б) cos (7π/2 + α), если cos α = 0,8 и α ∈ (π; 2π).

Решение:

а) Найдем sin (3π/2 - α):

Воспользуемся формулой приведения: \( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha \).

Чтобы найти \( \cos \alpha \), используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( (-0.6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - 0.36 = 0.64 \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8 \).

По условию, \( \alpha \) находится в диапазоне (π/2; 3π/2). Этот диапазон включает II и III координатные четверти. В II четверти косинус отрицателен, в III — тоже отрицателен. Однако, в условии дано \( \sin \alpha = -0.6 \), что соответствует III и IV четвертям. Объединяя условия \( \alpha \) ∈ (π/2; 3π/2) и \( \sin \alpha = -0.6 \) (что возможно только в III четверти, \( \alpha \) ∈ (π; 3π/2)), мы получаем, что \( \cos \alpha \) должен быть отрицательным.

Следовательно, \( \cos \alpha = -0.8 \).

Тогда \( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha = -(-0.8) = 0.8 \).

б) Найдем cos (7π/2 + α):

Воспользуемся формулой приведения: \( \cos(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -(-\sin \alpha) = \sin \alpha \).

По условию, \( \cos \alpha = 0.8 \) и \( \alpha \) ∈ (π; 2π). В этом диапазоне (III и IV четверти) косинус положителен только в IV четверти. Если \( \alpha \) ∈ (3π/2; 2π), то \( \sin \alpha \) отрицателен.

Найдем \( \sin \alpha \) из основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( \sin^2 \alpha + (0.8)^2 = 1 \)

\( \sin^2 \alpha + 0.64 = 1 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - 0.64 = 0.36 \)

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{0.36} = \pm 0.6 \).

Поскольку \( \alpha \) ∈ (π; 2π) и \( \cos \alpha = 0.8 > 0 \), то \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \alpha \) ∈ (3π/2; 2π)). В IV четверти \( \sin \alpha \) отрицателен.

Следовательно, \( \sin \alpha = -0.6 \).

Тогда \( \cos(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha = -0.6 \).

Ответ: а) sin (3π/2 - α) = 0.8; б) cos (7π/2 + α) = -0.6.