6. Центральный угол BTS опирается на хорду BS длиной 42. При этом угол TBS равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

Центральный угол \( \angle BTS \) равен удвоенному вписанному углу \( \angle TBS \), опирающемуся на ту же дугу. Однако, в условии указано \( \angle TBS = 60^\circ \). Если \( \angle TBS = 60^\circ \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( TS \), то центральный угол \( \angle TOS \) (где \( O \) — центр окружности) равен \( 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( TBS \). Если \( \angle TBS = 60^\circ \) и \( BS = 42 \), и \( T \) — центр окружности, то \( TB = TS = R \) (радиус). Треугольник \( TBS \) равнобедренный.

Если \( \angle TBS = 60^\circ \), а \( TB = TS \), то треугольник \( TBS \) равносторонний. Следовательно, \( TB = TS = BS = 42 \) см. В этом случае \( R = 42 \) см.

Если \( \angle TBS = 60^\circ \) — вписанный угол, опирающийся на хорду \( BS \) и центральный угол \( \angle BOS \) (где \( O \) — центр окружности), то \( \angle BOS = 2 \cdot \angle TBS = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

В равнобедренном треугольнике \( BOS \) (где \( OB = OS = R \)) проведем высоту \( OM \) к основанию \( BS \). \( OM \) делит \( \angle BOS \) пополам и \( BS \) пополам. \( BM = MS = \frac{42}{2} = 21 \) см. \( \angle BOM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

В прямоугольном треугольнике \( BOM \):

1. \( \sin(\angle BOM) = \frac{BM}{OB} \)
2. \( \sin(60^\circ) = \frac{21}{R} \)
3. \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{R} \)
4. \( R \sqrt{3} = 21 \cdot 2 \)
5. \( R \sqrt{3} = 42 \)
6. \( R = \frac{42}{\sqrt{3}} = \frac{42 \sqrt{3}}{3} = 14 \sqrt{3} \) см.

Предполагая, что \( T \) — это центр окружности.

Ответ: 14\(\sqrt{3}\) см.