6. Упростить выражение \(\left(\dfrac{2a+b^{1/2}a^{1/2}}{3a}\right)^{-1}\cdot\left(\dfrac{a^{2/3}-b^{3/2}}{a-a^{1/2}b^{1/2}}-\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)\).

Сначала упростим первый множитель:

\(\left(\dfrac{2a+\sqrt{ab}}{3a}\right)^{-1}=\dfrac{3a}{2a+\sqrt{ab}}=\dfrac{3\sqrt a}{2\sqrt a+\sqrt b}.\)

Во второй скобке \(a-\sqrt{ab}=\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)\), а \(\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b\). Поэтому выражение равно

\(\dfrac{3\sqrt a}{2\sqrt a+\sqrt b}\left(\dfrac{a^{2/3}-b^{3/2}}{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}-(\sqrt a-\sqrt b)\right).\)

Это можно записать одной дробью:

\(\dfrac{3\left(a^{2/3}-b^{3/2}-\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)^2\right)}{(2\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)}.\)

При упрощении знаменатели должны быть ненулевыми: исходное выражение определено при \(a\ne b\).