6. Упростите выражение: a) $$3\frac{3}{7}x^5y^6 \cdot \left(-2\frac{1}{3}x^5y\right)^2$$; б) $$(a^{n+1})^2 : a^{2n}$$.

Давай упростим эти выражения, используя свойства степеней и правила работы с дробями.

a) $$3\frac{3}{7}x^5y^6 \cdot \left(-2\frac{1}{3}x^5y\right)^2$$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$3\frac{3}{7} = \frac{3 \times 7 + 3}{7} = \frac{21+3}{7} = \frac{24}{7}$$

$$-2\frac{1}{3} = -\left(\frac{2 \times 3 + 1}{3}\right) = -\frac{6+1}{3} = -\frac{7}{3}$$

Теперь возведем в квадрат вторую часть выражения:

$$\\left(-2\frac{1}{3}x^5y\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 \cdot (x^5)^2 \cdot y^2 = \frac{49}{9} x^{10}y^2$$

Теперь перемножим обе части:

$$\\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9} x^{10}y^2$$

Перемножим коэффициенты:

$$\\frac{24}{7} \cdot \frac{49}{9} = \frac{24 \cdot 49}{7 \cdot 9}$$

Сократим дроби:

$$\\frac{(3 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 7)}{7 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{8 \cdot 7}{3} = \frac{56}{3}$$

Теперь перемножим переменные:

$$x^5 \cdot x^{10} = x^{5+10} = x^{15}$$

$$y^6 \cdot y^2 = y^{6+2} = y^8$$

Объединяем все части:

$$\\\frac{56}{3}x^{15}y^8$$

б) $$(a^{n+1})^2 : a^{2n}$$

Сначала упростим числитель, используя свойство возведения степени в степень:

$$(a^{n+1})^2 = a^{(n+1) \times 2} = a^{2n+2}$$

Теперь выполним деление:

$$a^{2n+2} : a^{2n} = a^{(2n+2) - 2n} = a^2$$

Ответ: a) $$\\\frac{56}{3}x^{15}y^8$$; б) $$a^2$$