6. Упростите выражение: a) $$\frac{4^{n+1} - 4^n}{15^{n+1}}$$ : $$(\frac{5^n}{12^{-n}})^{-1}$$; б) $$(\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1})^{-1}$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. а) Упрощение первого выражения:
   • Преобразуем числитель первой дроби: \(4^{n+1} - 4^n = 4^n \cdot 4^1 - 4^n = 4^n(4 - 1) = 3 \cdot 4^n\)
   • Знаменатель первой дроби: \(15^{n+1} = 15^n \cdot 15^1 = 15 \cdot 15^n\)
   • Первая дробь: \(\frac{3 \cdot 4^n}{15 \cdot 15^n}\)
   • Второе выражение: \((\frac{5^n}{12^{-n}})^{-1} = (\frac{12^n}{5^n})^{-1} = \frac{5^n}{12^n} = (\frac{5}{12})^n\)
   • Теперь делим: \(\frac{3 \cdot 4^n}{15 \cdot 15^n} : (\frac{5}{12})^n = \frac{3 \cdot 4^n}{15 \cdot 15^n} \cdot (\frac{12}{5})^n\)
   • \(= \frac{3 \cdot 4^n}{15 \cdot 15^n} \cdot \frac{12^n}{5^n}\)
   • \(= \frac{3}{15} \cdot \frac{4^n}{15^n} \cdot \frac{12^n}{5^n} = \frac{1}{5} \cdot (\frac{4}{15})^n \cdot (\frac{12}{5})^n\)
   • \(= \frac{1}{5} \cdot (\frac{4 \cdot 12}{15 \cdot 5})^n = \frac{1}{5} \cdot (\frac{48}{75})^n\)
   • Сократим дробь \(\frac{48}{75}\) на 3: \(\frac{16}{25}\)
   • \(= \frac{1}{5} \cdot (\frac{16}{25})^n\)
2. б) Упрощение второго выражения:
   • \((\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1})^{-1}\)
   • Сначала упростим выражение в скобках, заменив $$a^{-1}$$ на $$\frac{1}{a}$$:
   • \(\frac{\frac{1}{a} - 1}{\frac{1}{a} + 1} = \frac{\frac{1 - a}{a}}{\frac{1 + a}{a}} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a}{1 + a} = \frac{1 - a}{1 + a}\)
   • Теперь возведем в степень -1:
   • \((\frac{1 - a}{1 + a})^{-1} = \frac{1 + a}{1 - a}\)

Ответ: а) $$\frac{1}{5} \cdot (\frac{16}{25})^n$$; б) $$\frac{1 + a}{1 - a}$$.