6. Упростите выражение: a) \(\frac{4^{n+1} - 4^n}{15^{n+1}}\) : \(\left(\frac{5^n}{12^{n}}\right)^{-1}\); б) \(\left(\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1}\right)^{-1}\)

6. Упрощение выражений:

1. a) \( \frac{4^{n+1} - 4^n}{15^{n+1}} : \left(\frac{5^n}{12^{n}}\right)^{-1} = \frac{4^n(4 - 1)}{15^n \cdot 15} : \frac{12^n}{5^n} = \frac{4^n \cdot 3}{15^n \cdot 15} \cdot \frac{5^n}{12^n} = \frac{3 \cdot 4^n \cdot 5^n}{15 \cdot 15^n \cdot 12^n} = \frac{3 \cdot (4 \cdot 5)^n}{15 \cdot (15 \cdot 12)^n} = \frac{3 \cdot 20^n}{15 \cdot 180^n} = \frac{3}{15} \cdot \left(\frac{20}{180}\right)^n = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^n \)
2. б) \( \left(\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1}\right)^{-1} = \frac{a^{-1} + 1}{a^{-1} - 1} = \frac{\frac{1}{a} + 1}{\frac{1}{a} - 1} = \frac{\frac{1+a}{a}}{\frac{1-a}{a}} = \frac{1+a}{a} \cdot \frac{a}{1-a} = \frac{1+a}{1-a} \)

Ответ: а) \(\frac{1}{5}\left(\frac{1}{9}\right)^n\); б) \(\frac{1+a}{1-a}\).