6. В городе 42% взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 9,2% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 5%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:

Пусть \( М \) — событие, что выбран человек — мужчина, \( Ж \) — событие, что выбран человек — женщина. Пусть \( П \) — событие, что выбран человек — пенсионер.

Дано:

• Вероятность того, что взрослый — мужчина: \( P(М) = 0.42 \)
• Вероятность того, что взрослый — женщина: \( P(Ж) = 1 - P(М) = 1 - 0.42 = 0.58 \)
• Общая доля пенсионеров среди взрослого населения: \( P(П) = 0.092 \)
• Доля пенсионеров среди женщин: \( P(П | Ж) = 0.05 \)

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером, то есть \( P(П | М) \).

Воспользуемся формулой Байеса или сначала найдём долю пенсионеров-мужчин.

Общая доля пенсионеров \( P(П) \) складывается из доли пенсионеров-мужчин и доли пенсионеров-женщин:

\[ P(П) = P(П \cap М) + P(П \cap Ж) \]

Мы знаем \( P(П | Ж) \), значит можем найти \( P(П \cap Ж) \):

\[ P(П \cap Ж) = P(П | Ж) \times P(Ж) = 0.05 \times 0.58 = 0.029 \]

Теперь найдём долю пенсионеров-мужчин \( P(П \cap М) \):

\[ P(П \cap М) = P(П) - P(П \cap Ж) = 0.092 - 0.029 = 0.063 \]

Нас интересует вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером, то есть \( P(П | М) \). Используем определение условной вероятности:

\[ P(П | М) = \frac{P(П \cap М)}{P(М)} \]

Подставим значения:

\[ P(П | М) = \frac{0.063}{0.42} \]

Рассчитаем:

\[ \frac{0.063}{0.42} = \frac{63}{420} = \frac{3 \times 21}{20 \times 21} = \frac{3}{20} = 0.15 \]

Ответ: 0.15