7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Пусть \( A \) — событие, что кофе закончится в первом автомате к вечеру. Пусть \( B \) — событие, что кофе закончится во втором автомате к вечеру.

Дано:

• Вероятность того, что кофе закончится в первом автомате: \( P(A) = 0.25 \)
• Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате: \( P(B) = 0.25 \)
• Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах: \( P(A \cap B) = 0.15 \)

Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это означает, что кофе НЕ закончится ни в первом, ни во втором автомате. То есть, событие \( \bar{A} \cap \bar{B} \).

Воспользуемся формулой для вероятности объединения событий:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Рассчитаем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:

\[ P(A \cup B) = 0.25 + 0.25 - 0.15 = 0.50 - 0.15 = 0.35 \]

Событие «кофе останется в обоих автоматах» \( \bar{A} \cap \bar{B} \) является дополнением к событию «кофе закончится хотя бы в одном автомате» \( A \cup B \).

Поэтому, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна:

\[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) \]

Подставим значение:

\[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.35 = 0.65 \]

Ответ: 0.65