Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Общее количество ручек в коробке: \( 5 \text{ (синих)} + 6 \text{ (чёрных)} + 14 \text{ (красных)} = 25 \) ручек.
Нам нужно найти вероятность того, что при выборе двух ручек будут выбраны одна синяя и одна чёрная. Это может произойти двумя способами:
- Первая ручка — синяя (С), вторая — чёрная (Ч).
- Первая ручка — чёрная (Ч), вторая — синяя (С).
Случай 1: Первая — синяя, вторая — чёрная (С, Ч)
Вероятность выбрать синюю ручку первой: \( P(С_1) = \frac{5}{25} \).
После выбора одной синей ручки, в коробке осталось 24 ручки (4 синих, 6 чёрных, 14 красных). Вероятность выбрать чёрную ручку второй: \( P(Ч_2 | С_1) = \frac{6}{24} \).
Вероятность этого случая: \( P(С_1 \cap Ч_2) = P(С_1) \times P(Ч_2 | С_1) = \frac{5}{25} \times \frac{6}{24} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} \).
Случай 2: Первая — чёрная, вторая — синяя (Ч, С)
Вероятность выбрать чёрную ручку первой: \( P(Ч_1) = \frac{6}{25} \).
После выбора одной чёрной ручки, в коробке осталось 24 ручки (5 синих, 5 чёрных, 14 красных). Вероятность выбрать синюю ручку второй: \( P(С_2 | Ч_1) = \frac{5}{24} \).
Вероятность этого случая: \( P(Ч_1 \cap С_2) = P(Ч_1) \times P(С_2 | Ч_1) = \frac{6}{25} \times \frac{5}{24} = \frac{6}{5} \times \frac{1}{24} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} \).
Общая вероятность выбрать одну синюю и одну чёрную ручку равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:
\[ P(\text{одна синяя и одна чёрная}) = P(С_1 \cap Ч_2) + P(Ч_1 \cap С_2) = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \]Альтернативное решение с использованием сочетаний:
Общее число способов выбрать 2 ручки из 25: \( C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 25 \times 12 = 300 \).
Число способов выбрать одну синюю ручку из 5: \( C_5^1 = 5 \).
Число способов выбрать одну чёрную ручку из 6: \( C_6^1 = 6 \).
Число способов выбрать одну синюю и одну чёрную ручку: \( C_5^1 \times C_6^1 = 5 \times 6 = 30 \).
Вероятность выбрать одну синюю и одну чёрную ручку:
\[ P(\text{одна синяя и одна чёрная}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{30}{300} = \frac{1}{10} \]Ответ: 1/10
