6. В группе 25 человек, среди них Оксана и Сергей. Группу случайным образом делят на две подгруппы: в первой 13 человек, во второй — 12. Найдите вероятность того, что Оксана и Сергей окажутся в одной подгруппе.

Задание 6. Вероятность попадания в одну подгруппу

Общее количество человек в группе: \( N = 25 \).

Размер первой подгруппы: \( n_1 = 13 \).

Размер второй подгруппы: \( n_2 = 12 \).

Рассмотрим два случая, когда Оксана и Сергей окажутся в одной подгруппе.

Случай 1: Оксана и Сергей в первой подгруппе (13 человек).

Чтобы найти вероятность этого события, сначала посчитаем, сколькими способами можно сформировать первую подгруппу так, чтобы в ней оказались Оксана и Сергей. Для этого нам нужно выбрать ещё \( 13 - 2 = 11 \) человек из оставшихся \( 25 - 2 = 23 \) человек.

Количество способов выбрать 11 человек из 23: \( C_{23}^{11} \).

Общее количество способов сформировать первую подгруппу из 13 человек из 25: \( C_{25}^{13} \).

Вероятность того, что Оксана и Сергей окажутся в первой подгруппе:

\[ P(\text{Оксана и Сергей в 1-й}) = \frac{C_{23}^{11}}{C_{25}^{13}} \]

Распишем сочетания:

\[ C_{23}^{11} = \frac{23!}{11!12!} \]

\( C_{25}^{13} = \frac{25!}{13!12!} \)

\( P(\text{Оксана и Сергей в 1-й}) = \frac{\frac{23!}{11!12!}}{\frac{25!}{13!12!}} = \frac{23! \cdot 13! \cdot 12!}{11! \cdot 12! \cdot 25!} = \frac{23! \cdot 13!}{11! \cdot 25!} = \frac{13 \times 12}{25 \times 24} = \frac{156}{600} \)

Случай 2: Оксана и Сергей во второй подгруппе (12 человек).

Аналогично, чтобы найти вероятность этого события, посчитаем, сколькими способами можно сформировать вторую подгруппу так, чтобы в ней оказались Оксана и Сергей. Для этого нам нужно выбрать ещё \( 12 - 2 = 10 \) человек из оставшихся \( 25 - 2 = 23 \) человек.

Количество способов выбрать 10 человек из 23: \( C_{23}^{10} \).

Общее количество способов сформировать вторую подгруппу из 12 человек из 25: \( C_{25}^{12} \).

Вероятность того, что Оксана и Сергей окажутся во второй подгруппе:

\[ P(\text{Оксана и Сергей во 2-й}) = \frac{C_{23}^{10}}{C_{25}^{12}} \]

Распишем сочетания:

\[ C_{23}^{10} = \frac{23!}{10!13!} \]

\( C_{25}^{12} = \frac{25!}{12!13!} \)

\( P(\text{Оксана и Сергей во 2-й}) = \frac{\frac{23!}{10!13!}}{\frac{25!}{12!13!}} = \frac{23! \cdot 12! \cdot 13!}{10! \cdot 13! \cdot 25!} = \frac{23! \cdot 12!}{10! \cdot 25!} = \frac{12 \times 11}{25 \times 24} = \frac{132}{600} \)

Общая вероятность того, что Оксана и Сергей окажутся в одной подгруппе, равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:

\[ P(\text{в одной подгруппе}) = P(\text{Оксана и Сергей в 1-й}) + P(\text{Оксана и Сергей во 2-й}) \]

\( P(\text{в одной подгруппе}) = \frac{156}{600} + \frac{132}{600} = \frac{156 + 132}{600} = \frac{288}{600} \)

Сократим дробь:

\( \frac{288}{600} = \frac{144}{300} = \frac{72}{150} = \frac{36}{75} = \frac{12}{25} \)

Ответ: \( \frac{12}{25} \).