6. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD.

Решение:

Угол \( \angle ACB \) — вписанный, опирающийся на дугу AB. Следовательно, градусная мера дуги AB равна \( 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 53° = 106° \).

Угол \( \angle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу AD.

Так как AC — диаметр, то дуга ABC = 180°.

Дуга BC = Дуга ABC - Дуга AB = 180° - 106° = 74°.

Угол \( \angle BCD \) — вписанный, опирающийся на дугу BD. Так как BD — диаметр, дуга BCD = 180°.

Угол \( \angle BCD \) равен вписанному углу \( \angle BAD \) (опираются на дугу BD). Это неверно. \( \angle BAD \) опирается на дугу \( BD \), \( \angle BCD \) опирается на дугу \( BAD \).

Углы \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) равны, так как опираются на одну дугу AB. \( \angle ADB = 53° \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) равны, так как опираются на одну дугу CD.

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) равны, так как опираются на одну дугу BC.

Так как AC и BD — диаметры, то \( \angle ACB = 53° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = 2 * 53° = 106°.

\( \angle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу AD.

\( \angle COD \) — центральный угол, опирающийся на дугу CD. \( \angle COD = \angle AOB \) как вертикальные углы.

\( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу AB. \( \angle AOB = 106° \).

\( \angle COD = 106° \).

\( \angle AOD \) и \( \angle COD \) смежные, их сумма 180° (так как AC — диаметр).

\( \angle AOD + \angle COD = 180° \)

\( \angle AOD + 106° = 180° \)

\( \angle AOD = 180° - 106° = 74° \)

Ответ: 74°.