6. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Докажите, что четырёхугольник AMCN является параллелограммом. (3 балла)

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны: \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\).

M и N — середины сторон AB и CD, поэтому \(AM=\frac{AB}{2}\) и \(CN=\frac{CD}{2}\). Из равенства \(AB=CD\) следует \(AM=CN\).

Так как отрезки AM и CN лежат на параллельных прямых AB и CD, то \(AM\parallel CN\). В четырёхугольнике AMCN одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит, AMCN — параллелограмм.