6. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна 9 см. Два измерения равны между собой, а третье в 2 раза больше каждого из них. Найдите объём и диагональ грани, содержащей равные стороны.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим измерения параллелепипеда.
• Пусть два равных измерения равны \( x \) см. Тогда третье измерение равно \( 2x \) см.
• Диагональ параллелепипеда (D) вычисляется по формуле: \( D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).
• Подставляем известные значения: \( 9 = \sqrt{x^2 + x^2 + (2x)^2} \).
• \( 9 = \sqrt{x^2 + x^2 + 4x^2} \).
• \( 9 = \sqrt{6x^2} \).
• Возводим обе части в квадрат: \( 81 = 6x^2 \).
• \( x^2 = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} \).
• \( x = \sqrt{\frac{27}{2}} = \sqrt{\frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{54}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 6}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см.
• Тогда третье измерение равно \( 2x = 2 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \) см.
• Итак, измерения: \( \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см, \( \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см, \( 3\sqrt{6} \) см.
• Шаг 2: Находим объём параллелепипеда (V).
• Объём вычисляется по формуле: \( V = a \cdot b \cdot c \).
• \( V = \frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ см} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ см} \cdot 3\sqrt{6} \text{ см} \).
• \( V = \frac{9 \cdot 6}{4} \text{ см}^2 \cdot 3\sqrt{6} \text{ см} = \frac{54}{4} \text{ см}^2 \cdot 3\sqrt{6} \text{ см} = \frac{27}{2} \text{ см}^2 \cdot 3\sqrt{6} \text{ см} = \frac{81\sqrt{6}}{2} \text{ см}^3 \).
• Шаг 3: Находим диагональ грани, содержащей равные стороны.
• Эта грань является квадратом со стороной \( x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см.
• Диагональ грани (d_гр.) квадрата вычисляется по формуле: \( d_{гр.} = x \sqrt{2} \).
• \( d_{гр.} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ см} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{12}}{2} \text{ см} = \frac{3\sqrt{4 \cdot 3}}{2} \text{ см} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{3}}{2} \text{ см} = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: Объём \( \frac{81\sqrt{6}}{2} \text{ см}^3 \), диагональ грани \( 3\sqrt{3} \text{ см}