7. В прямой призме основание — прямоугольная трапеция с основаниями 8 см и 14 см и меньшей боковой стороной 6 см, перпендикулярной основаниям. Объём призмы 660 см³. Найдите высоту призмы и её диагональ, соединяющую вершины верхнего и нижнего оснований, не лежащие в одной грани.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим высоту призмы (H).
• Объём призмы (V) равен произведению площади основания (S_осн.) на высоту призмы (H): \( V = S_{осн.} \cdot H \).
• Основание — прямоугольная трапеция. Её площадь вычисляется по формуле: \( S_{осн.} = \frac{a + b}{2} \cdot h_{тр.} \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( h_{тр.} \) — её высота.
• В данной задаче меньшая боковая сторона (6 см) перпендикулярна основаниям, значит, она является высотой трапеции: \( h_{тр.} = 6 \) см.
• Находим площадь основания: \( S_{осн.} = \frac{8 \text{ см} + 14 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = \frac{22}{2} \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 11 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 66 \text{ см}^2 \).
• Теперь находим высоту призмы, используя объём: \( H = \frac{V}{S_{осн.}} \).
• \( H = \frac{660 \text{ см}^3}{66 \text{ см}^2} = 10 \text{ см} \).
• Шаг 2: Находим диагональ призмы (D).
• Диагональ призмы, соединяющая вершины, не лежащие в одной грани, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота призмы (H) и диагональ основания (d_осн.).
• Сначала найдём диагональ основания. В прямоугольной трапеции можно провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образовав прямоугольник и прямоугольный треугольник.
• Стороны прямоугольного треугольника:
• Один катет равен высоте трапеции: 6 см.
• Второй катет равен разности оснований трапеции: \( 14 \text{ см} - 8 \text{ см} = 6 \) см.
• Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали основания (d_осн.): \( d_{осн.}^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \).
• \( d_{осн.} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \) см.
• Теперь находим диагональ призмы (D) по теореме Пифагора: \( D^2 = H^2 + d_{осн.}^2 \).
• \( D^2 = 10^2 + (6\sqrt{2})^2 = 100 + 72 = 172 \).
• \( D = \sqrt{172} = \sqrt{4 \cdot 43} = 2\sqrt{43} \) см.

Ответ: Высота призмы 10 см, диагональ призмы \( 2\sqrt{43} \text{ см}