№ 6. В прямоугольной трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, ∠A = 90°, AB = BC, ∠D = 65°. Проведена диагональ AC. Найти угол между AC и CD.

Так как \(AB\perp AD\) и \(BC\parallel AD\), то \(AB\perp BC\), следовательно, \(\angle ABC=90^\circ\). Из условия \(AB=BC\), поэтому треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный.

1. Углы при основании AC равны: \(\angle BAC=\angle BCA=(180^\circ-90^\circ)/2=45^\circ\).
2. \(\angle CAD=\angle BAD-\angle BAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ\).
3. В треугольнике ACD искомый угол равен \(180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-45^\circ-65^\circ=70^\circ\).

Ответ: угол между AC и CD равен \(70^\circ\).