6. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 дм и основание равно 12 см. Найдите: а) высоту треугольника, проведенную к основанию треугольника; б) площадь треугольника.

Задание 6. Равнобедренный треугольник

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Боковая сторона \( = 10 \) дм.
• Основание \( = 12 \) см.

Найти:

• а) высоту \( h \) к основанию.
• б) площадь \( S \).

Решение:

Сначала приведем все единицы измерения к одному виду. Переведем дециметры в сантиметры: \( 10 \) дм \( = 100 \) см.

а) Нахождение высоты:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам.
2. Таким образом, отрезок основания, прилежащий к одной из боковых сторон, равен: \( \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \) см.
3. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона (100 см), один катет — половина основания (6 см), а другой катет — искомая высота \( h \).
4. Воспользуемся теоремой Пифагора: \( h^2 + 6^2 = 100^2 \)
5. \( h^2 + 36 = 10000 \)
6. \( h^2 = 10000 - 36 = 9964 \)
7. \( h = \sqrt{9964} \approx 99.82 \) см.

б) Нахождение площади:

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]
2. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot \sqrt{9964} \text{ см} \]
3. \( S = 6 \cdot \sqrt{9964} \text{ см}^2 \approx 6 \cdot 99.82 \text{ см}^2 \approx 598.92 \) см².

Ответ:

• а) Высота треугольника примерно равна 99.82 см.
• б) Площадь треугольника примерно равна 598.92 см².