6. В треугольнике MDE проведён отрезок DF, причём ∠MDF = ∠FDE и ∠MFD = ∠DFE. Найдите пары равных треугольников и докажите, что они равны.

Рассмотрим треугольники MDF и FDE.

1. \(\angle MDF = \angle FDE\) — по условию.
2. \(\angle MFD = \angle DFE\) — по условию.
3. \(DF = DF\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle MDF = \triangle FDE\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что \(DM = DE\) и \(FM = FE\).

Ответ: \(\triangle MDF = \triangle FDE\).