6. Вычислите: а) (27 ⋅ 3⁻⁶)² ⋅ (9⁻¹)²; б) ((-64)⁻⁴ ⋅ 8³) / 16⁻³

Решение:

Представим числа в виде степеней тройки или двойки и применим свойства степеней.

1. а) \( (27 \cdot 3^{-6})^2 \cdot (9^{-1})^2 = ((3^3) \cdot 3^{-6})^2 \cdot ((3^2)^{-1})^2 = (3^{3+(-6)})^2 \cdot (3^{2 \cdot (-1)})^2 = (3^{-3})^2 \cdot (3^{-2})^2 = 3^{-3 \cdot 2} \cdot 3^{-2 \cdot 2} = 3^{-6} \cdot 3^{-4} = 3^{-6+(-4)} = 3^{-10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049} \)
2. б) \( \frac{(-64)^{-4} \cdot 8^3}{16^{-3}} = \frac{(-(2^6))^{-4} \cdot (2^3)^3}{(2^4)^{-3}} = \frac{(2^6)^4 \cdot 2^{3 \cdot 3}}{2^{4 \cdot (-3)}} = \frac{2^{24} \cdot 2^9}{2^{-12}} = \frac{2^{24+9}}{2^{-12}} = \frac{2^{33}}{2^{-12}} = 2^{33 - (-12)} = 2^{33+12} = 2^{45} \)

Ответ: а) \(\frac{1}{59049}\); б) \(2^{45}\).