7. Упростите: 15ⁿ : (3ⁿ⁺¹ ⋅ 5ⁿ⁻¹)

Решение:

Представим число 15 как произведение 3 и 5. Используем свойства степеней: \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \), \( x^m : x^n = x^{m-n} \), \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).

\( 15^n : (3^{n+1} \cdot 5^{n-1}) = (3 \cdot 5)^n : (3^{n+1} \cdot 5^{n-1}) = \frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n+1} \cdot 5^{n-1}} = 3^{n - (n+1)} \cdot 5^{n - (n-1)} = 3^{n-n-1} \cdot 5^{n-n+1} = 3^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3} \)

Ответ: \(\frac{5}{3}\).