6. Вычислите cos t, tg t, ctg t, если sin t = 4/5 и π/2 < t < π.

Решение:

Дано: \( \sin t = \frac{4}{5} \), \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \) (второй координатный угол).

1. Найдем \( \cos t \). Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \).

\( (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 t = 1 \)

\( \frac{16}{25} + \cos^2 t = 1 \)

\( \cos^2 t = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} \)

Так как \( t \) находится во втором координатном угле, \( \cos t < 0 \).

\( \cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \).

2. Найдем \( \operatorname{tg} t \).

\( \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{4}{3} \).

3. Найдем \( \operatorname{ctg} t \).

\( \operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \( \cos t = -\frac{3}{5}, \operatorname{tg} t = -\frac{4}{3}, \operatorname{ctg} t = -\frac{3}{4} \)