4. Решите неравенство 1)

Решение:

Нам нужно решить неравенство: \( \frac{(x-6)(2-x)}{x+3} \ge 0 \)

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( (x-6)(2-x) = 0 \) ⇒ \( x=6 \) или \( x=2 \).
• Знаменатель: \( x+3 = 0 \) ⇒ \( x=-3 \).

Отметим эти точки на числовой оси: -3, 2, 6. Они разбивают числовую ось на 4 интервала:

1. \( x < -3 \): Возьмём \( x=-4 \). \( \frac{(-4-6)(2-(-4))}{-4+3} = \frac{(-10)(6)}{-1} = 60 \ge 0 \). Интервал подходит.

2. \( -3 < x < 2 \): Возьмём \( x=0 \). \( \frac{(0-6)(2-0)}{0+3} = \frac{(-6)(2)}{3} = -4 \ge 0 \). Интервал не подходит.

3. \( 2 < x < 6 \): Возьмём \( x=3 \). \( \frac{(3-6)(2-3)}{3+3} = \frac{(-3)(-1)}{6} = \frac{3}{6} = 0.5 \ge 0 \). Интервал подходит.

4. \( x > 6 \): Возьмём \( x=7 \). \( \frac{(7-6)(2-7)}{7+3} = \frac{(1)(-5)}{10} = -0.5 \ge 0 \). Интервал не подходит.

Учтём, что \( x=-3 \) не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю. Числитель равен нулю при \( x=2 \) и \( x=6 \), эти значения входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Объединяя подходящие интервалы, получаем:

\( x \in (-\infty, -3) \cup [2, 6] \)

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup [2, 6] \)