4. Решите неравенство 2)

Решение:

Нам нужно решить неравенство: \( (x+2)^2 (x-3)(4-x) \ge 0 \)

Найдем корни многочлена:

• \( (x+2)^2 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \) (корень чётной кратности)
• \( x-3 = 0 \) ⇒ \( x = 3 \)
• \( 4-x = 0 \) ⇒ \( x = 4 \)

Отметим эти точки на числовой оси: -2, 3, 4.

Определим знаки на интервалах. Начинаем с правого интервала \( x > 4 \). Возьмём \( x=5 \): \( (5+2)^2(5-3)(4-5) = 7^2 · 2 · (-1) = 49 · 2 · (-1) = -98 \). Значит, на \( (4, \infty) \) знак "-".

При переходе через \( x=4 \) (корень нечётной кратности) знак меняется на "+". На интервале \( (3, 4) \) знак "+".

При переходе через \( x=3 \) (корень нечётной кратности) знак меняется на "-". На интервале \( (-2, 3) \) знак "-".

При переходе через \( x=-2 \) (корень чётной кратности) знак НЕ меняется. На интервале \( (-\infty, -2) \) знак "-".

Нам нужно \( \ge 0 \). Это означает, что нас интересуют интервалы со знаком "+".

В данном случае, на интервале \( (3, 4) \) знак "+".

Учтём, что \( x=-2 \) является корнем, поэтому он входит в решение. Так как \( x=3 \) и \( x=4 \) также являются корнями, они тоже входят в решение.

В интервале \( (-2, 3) \) знак "-", но \( x=-2 \) входит. А \( x=3 \) не входит, так как знак \(-\).

При переходе через \( x=3 \) знак меняется с \(-\) на \(+\). Значит, на \( (3, 4) \) знак \(+\).

При переходе через \( x=4 \) знак \(+\) меняется на \(-\). Значит, на \( (4, \infty) \) знак \(-\).

Пересмотрим знаки:

1. \( x > 4 \): \( (+)^2 (+)(-) = - \)
2. \( 3 < x < 4 \): \( (+)^2 (+)(+) = + \)
3. \( -2 < x < 3 \): \( (+)^2 (-)(+) = - \)
4. \( x < -2 \): \( (-)^2 (-)(+) = - \)

Значит, \( (x+2)^2(x-3)(4-x) \ge 0 \) на интервале \( (3, 4) \).

Так как \( x=-2 \) — корень кратности 2, он входит в решение. \( x=3 \) и \( x=4 \) также входят в решение.

С учётом этого, решением будет \( x \in [3, 4] \).

Ответ: \( [3, 4] \)