7. Решить уравнения а)

Решение:

Дано уравнение: \( \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: \( y = \sin x \).

Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + y - 2 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение:

• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
• Найдём корни: \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \).

1. \( \sin x = 1 \)

Это частный случай. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \sin x = -2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса находится в диапазоне \( [-1, 1] \), а \( -2 \) выходит за этот диапазон.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)