6. Вычислите \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-7}} \)

Решение:

1. Представим все числа в виде степени тройки: \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-7}} \)
3. Упростим степени: \( \frac{3^{-9} \cdot 3^{2 \cdot (-4)}}{3^{3 \cdot (-7)}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-21}} \)
4. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( \frac{3^{-9 + (-8)}}{3^{-21}} = \frac{3^{-17}}{3^{-21}} \)
5. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( 3^{-17 - (-21)} = 3^{-17 + 21} = 3^4 \)
6. Вычислим значение: \( 3^4 = 81 \)

Ответ: 81.