6. Высоту AH треугольника ABC продолжили за точку H до некоторой точки K. P, Q, R и T — соответственно середины отрезков AC, AB, BK и CK. Найдите PR, если QT=2.

Обозначим координаты точек A, B, C, K через \(A=(0,0)\), \(B=(x,y)\), \(C=(z,y)\), \(K=(0,k)\). Такая система координат подходит, поскольку BC перпендикулярна высоте AH.

По формуле середины отрезка: \(P=(z/2,y/2)\), \(Q=(x/2,y/2)\), \(R=(x/2,k/2)\), \(T=(z/2,(y+k)/2)\).

Векторы \(\overrightarrow{PR}=((x-z)/2,(k-y)/2)\) и \(\overrightarrow{QT}=((z-x)/2,k/2)\) требуют проверки: чтобы сравнить их длины, учитываем, что условие «высоту AH продолжили за H до K» означает, что A, H и K лежат на одной прямой; однако это само по себе не задаёт координату K относительно B и C. При данных определениях координаты дают \(PR^2=((x-z)^2+(k-y)^2)/4\), а \(QT^2=((z-x)^2+k^2)/4\). Их равенство не следует из условия без дополнительной связи между координатами.

В условии, вероятно, есть существенная неоднозначность в расположении точек или определении середины: из прочитанного текста значение PR по QT определить нельзя. Уточните формулировку задания или пришлите более чёткий фрагмент.