610. Имеет ли корни многочлен: а) x² + 1; б) x³ − 27; в) −2y⁶ − 1; г) y⁴ + 3y² + 7?

Рассматриваем действительные корни.

1. а) Для любого действительного \(x\), \(x^2\ge0\), поэтому \(x^2+1>0\). Корней нет.
2. б) \(x^3-27=0\), откуда \(x=3\). Корень есть.
3. в) \(y^6\ge0\), поэтому \(-2y^6-1\le-1<0\). Корней нет.
4. г) \(y^4+3y^2+7\ge7>0\). Корней нет.

Ответ: корни есть только у многочлена б), его корень — 3.