622. Решить уравнения: 1) tg² x = 2; 2) tg x = ctg x; 3) tg² x − 3 tg x − 4 = 0; 4) tg³ x − tg x + 1 = 0.

Во всех пунктах k ∈ ℤ; аргументы тангенса рассматриваются только там, где он определён.

1. tg x = ±√2, поэтому x = ± arctg(√2) + πk.
2. Поскольку tg x = ctg x, имеем tg² x = 1. Следовательно, x = π/4 + πk/2.
3. Положим t = tg x: t² − 3t − 4 = (t − 4)(t + 1) = 0. Значит, tg x = 4 или tg x = −1. x = arctg 4 + πk; −π/4 + πk.
4. Обозначим через α единственный действительный корень уравнения α³ − α + 1 = 0. По формуле Кардано, α = ∛(−1/2 + √69/18) + ∛(−1/2 − √69/18) ≈ −1,3247. Тогда x = arctg α + πk.