623. Решить уравнения: 1) 1 + 7 cos² x = 3 sin 2x; 2) 3 + sin 2x = 4 sin² x; 3) cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0; 4) 3 cos 2x + sin x cos x = 0.

Во всех пунктах k ∈ ℤ. При переходе к tg x проверяем, что cos x ≠ 0: при cos x = 0 исходные уравнения решений не дают.

1. Используем sin 2x = 2 sin x cos x и делим на cos² x: 1 + tg² x + 7 = 6 tg x. Получаем (tg x − 2)(tg x − 4) = 0. x = arctg 2 + πk; arctg 4 + πk.
2. Положим t = tg x и разделим уравнение на cos² x: 3(1 + t²) + 2t = 4t². Отсюда (t − 3)(t + 1) = 0. x = arctg 3 + πk; −π/4 + πk.
3. Используем cos 2x = cos² x − sin² x и делим на cos² x: 2 − tg² x + tg x = 0. Значит, (tg x − 2)(tg x + 1) = 0. x = arctg 2 + πk; −π/4 + πk.
4. Делим на cos² x и получаем 3(1 − tg² x) + tg x = 0, то есть 3 tg² x − tg x − 3 = 0. Поэтому tg x = (1 ± √37)/6. x = arctg((1 + √37)/6) + πk; arctg((1 − √37)/6) + πk.