631. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ проведены диагональ AB₁ и биссектриса угла AB₁C₁, пересекающиеся с плоскостью основания в точке D; AB = 5, AA₁ = 12. Определите расстояние AD.

В условии, вероятно, имеется в виду, что точка D — пересечение биссектрисы угла AB₁C₁ с плоскостью основания: диагональ AB₁ пересекает эту плоскость в A.

Пусть основание — равносторонний треугольник со стороной 5, а высота призмы равна 12. Тогда AB₁ = 13, а B₁C₁ = 5. Биссектриса угла AB₁C₁ делит противоположную сторону AC₁ в отношении AB₁ : B₁C₁ = 13 : 5. Поэтому её пересечение D с плоскостью основания лежит на прямой AC, причём из подобия получаем AD : DC = 13 : 5.

Поскольку AC = 5, имеем AD = 13·5/18 = 65/18.

Ответ: AD = 65/18.