634. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершины B₁, C₁ и точку D, делящую ребро AA₁ в отношении 3:2 (от A к A₁), проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках M и N; AB = 10. Определите расстояние MN.

Пусть AM: здесь точка M — пересечение прямой B₁D с плоскостью основания, а N — пересечение C₁D с этой плоскостью. Поскольку AD:DA₁ = 3:2, точка D находится на доле 3/5 высоты призмы.

При продолжении прямых до основания горизонтальные смещения от A пропорциональны соответствующим векторам AB и AC с коэффициентом 3/2. Поэтому MN = (3/2)BC.

Основание призмы — равносторонний треугольник, значит BC = AB = 10.

Ответ: MN = 15.