633. В правильной треугольной пирамиде SABC проведён отрезок AD, где D — середина ребра SC, и на нём взята точка E так, что AE:ED = 5:3. Через середину ребра SB и точку E проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке F; AB = 30. Определите расстояние между точками A и F.

Пусть P — середина SB. Используем аффинные координаты: основание лежит в плоскости, а коэффициент при S показывает положение точки по высоте.

Так как D — середина SC, а AE:ED = 5:3, точка E выражается как E = (3A + 5D)/8. Кроме того, P = (S + B)/2. Продолжая EP до плоскости основания, получаем F = (8/3)E − (5/3)P. После подстановки D = (S + C)/2 выходит AF = (5/6)·CB по длине.

В правильной треугольной пирамиде AB = BC = 30, поэтому AF = (5/6)·30 = 25.

Ответ: AF = 25.