635. В правильной треугольной пирамиде SABC взята точка D на середине SB, точка E — на SA и F — на SC так, что AE:ES = 1:3 и CF:FS = 1:3. Прямые DE и DF пересекают плоскость основания в точках K и L; AB = 16. Определите расстояние между точками K и L.

Пусть A, B и C — вершины равностороннего основания. Представим точки через их аффинные координаты относительно вершин пирамиды.

D = (S+B)/2, E = (3A+S)/4, F = (3S+C)/4. Продолжение DE до плоскости основания даёт K = 2E−D = 3A/2−B/2. Продолжение DF даёт L = 3D−2F = 3B/2−C/2.

Значит, вектор KL = (3A−4B+C)/2. Положим A=(0,0), B=(16,0), C=(8,8√3). Тогда KL имеет координаты (−14, 4√3), а его длина равна √(196+48) = 2√61.

Ответ: KL = 2√61.