632. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взята точка E так, что SE:EA = 1:3. Через точку E и середины рёбер SD и SC проведены прямые, пересекающие плоскость основания пирамиды в точках M и N. AB = 10. Определите расстояние MN.

Обозначим через P и Q середины SD и SC соответственно. Поскольку SE:EA = 1:3, точка E находится на четверти пути от S к A.

На прямой EP продолжим отрезок за E до пересечения с плоскостью основания в M. Сравнение коэффициентов при вершине S показывает, что вектор AM равен −(1/2) вектор AD. Аналогично, для прямой EQ получаем AN = −(1/2) вектор AC.

Следовательно, MN = (1/2)DC. Основание — квадрат, поэтому DC = AB = 10.

Ответ: MN = 5.