65. Дан прямоугольный треугольник ABC, CH — высота, опущенная на гипотенузу. Найдите длину отрезка x (рис. 68, а—в).

Применяем теорему о катете: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

а) AB = 25, HB = 4, значит AH = 25 − 4 = 21. Для катета BC: x² = AB · HB = 25 · 4 = 100, поэтому x = 10.

б) В треугольнике BHC: BH = 8, BC = 12, поэтому CH² = 12² − 8² = 80. Для катета AC его проекция на гипотенузу равна AH = x. По теореме о катете, BC² = AB · BH = (x + 8) · 8. Следовательно, 144 = 8(x + 8), откуда x = 10.

в) AB = 10, AC = √70. Для катета AC: AC² = AB · AH. Поэтому 70 = 10x, откуда x = 7.

Ответ: а) 10; б) 10; в) 7.