66. 41 Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f(x) = √2 cos x; A(π/4; 2)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sqrt{2} \cos x \), проинтегрируем \( f(x) \):

\[ F(x) = \int \sqrt{2} \cos x \, dx = \sqrt{2} \sin x + C \]

Теперь используем условие, что график проходит через точку \( A(\frac{\pi}{4}, 2) \). Подставим координаты точки в уравнение первообразной:

\[ 2 = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + C \]

Так как \( \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:

\[ 2 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C \]

\( 2 = \frac{2}{2} + C \)

\( 2 = 1 + C \)

\( C = 2 - 1 = 1 \)

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \]

Ответ: \( F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \).