70. 45 Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f (x) = 10x⁴ + 3; A(1;5)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 10x^4 + 3 \), проинтегрируем \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (10x^4 + 3) \, dx = 10 \frac{x^5}{5} + 3x + C = 2x^5 + 3x + C \]

Теперь используем условие, что график проходит через точку \( A(1, 5) \). Подставим координаты точки в уравнение первообразной:

\[ 5 = 2(1)^5 + 3(1) + C \]

\( 5 = 2(1) + 3 + C \)

\( 5 = 2 + 3 + C \)

\( 5 = 5 + C \)

\( C = 5 - 5 = 0 \)

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = 2x^5 + 3x \]

Ответ: \( F(x) = 2x^5 + 3x \).