67. 42 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 6 / (5√4x+2) + 1 / cos²(5x)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{6}{5\sqrt{4x+2}} + \frac{1}{\cos^2(5x)} \), проинтегрируем \( f(x) \) по частям:

Первый интеграл:

\[ \int \frac{6}{5\sqrt{4x+2}} \, dx = \frac{6}{5} \int (4x+2)^{-\frac{1}{2}} \, dx \]

Для этого интеграла сделаем замену \( u = 4x+2 \), тогда \( du = 4 \, dx \), а \( dx = \frac{1}{4} \, du \):

\[ \frac{6}{5} \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{6}{20} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{3}{10} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \frac{3}{5} \sqrt{4x+2} + C_1 \]

Второй интеграл:

\[ \int \frac{1}{\cos^2(5x)} \, dx = \int \sec^2(5x) \, dx \]

Для этого интеграла сделаем замену \( v = 5x \), тогда \( dv = 5 \, dx \), а \( dx = \frac{1}{5} \, dv \):

\[ \int \sec^2(v) \cdot \frac{1}{5} \, dv = \frac{1}{5} \int \sec^2(v) \, dv = \frac{1}{5} \tan(v) + C_2 = \frac{1}{5} \tan(5x) + C_2 \]

Сложив результаты, получим общую первообразную:

\[ F(x) = \frac{3}{5} \sqrt{4x+2} + \frac{1}{5} \tan(5x) + C \]

Ответ: \( F(x) = \frac{3}{5} \sqrt{4x+2} + \frac{1}{5} \tan(5x) + C \).