71. 46 Вычислите интеграл: ∫(4/x² + 2x - 3x²) dx

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл \( \int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2 \right) \, dx \), сначала найдём первообразную подынтегральной функции.

Найдём первообразную:

\[ \int \left( \frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2 \right) \, dx = \int (4x^{-2} + 2x - 3x^2) \, dx \]

Интегрируем по членам:

\[ 4 \frac{x^{-1}}{-1} + 2 \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^3}{3} + C = -4x^{-1} + x^2 - x^3 + C = -\frac{4}{x} + x^2 - x^3 + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования от 1 до 4:

\[ \left[ -\frac{4}{x} + x^2 - x^3 \right]_{1}^{4} = \left( -\frac{4}{4} + 4^2 - 4^3 \right) - \left( -\frac{4}{1} + 1^2 - 1^3 \right) \]

\( = (-1 + 16 - 64) - (-4 + 1 - 1) \)

\( = (15 - 64) - (-4) \)

\( = -49 + 4 \)

\( = -45 \)

Ответ: -45.