72. 47 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 5 / (2√3x+2) + 1 / sin²(4x)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{5}{2\sqrt{3x+2}} + \frac{1}{\sin^2(4x)} \), проинтегрируем \( f(x) \) по частям:

Первый интеграл:

\[ \int \frac{5}{2\sqrt{3x+2}} \, dx = \frac{5}{2} \int (3x+2)^{-\frac{1}{2}} \, dx \]

Сделаем замену \( u = 3x+2 \), тогда \( du = 3 \, dx \), а \( dx = \frac{1}{3} \, du \):

\[ \frac{5}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{5}{6} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{5}{6} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = \frac{5}{3} \sqrt{3x+2} + C_1 \]

Второй интеграл:

\[ \int \frac{1}{\sin^2(4x)} \, dx = \int \csc^2(4x) \, dx \]

Сделаем замену \( v = 4x \), тогда \( dv = 4 \, dx \), а \( dx = \frac{1}{4} \, dv \):

\[ \int \csc^2(v) \cdot \frac{1}{4} \, dv = \frac{1}{4} \int \csc^2(v) \, dv = -\frac{1}{4} \cot(v) + C_2 = -\frac{1}{4} \cot(4x) + C_2 \]

Сложив результаты, получим общую первообразную:

\[ F(x) = \frac{5}{3} \sqrt{3x+2} - \frac{1}{4} \cot(4x) + C \]

Ответ: \( F(x) = \frac{5}{3} \sqrt{3x+2} - \frac{1}{4} \cot(4x) + C \).