69. 44 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 3 cos x/3 + sin(3x)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3 \cos \frac{x}{3} + \sin(3x) \), проинтегрируем \( f(x) \) по частям:

Первый интеграл:

\[ \int 3 \cos \frac{x}{3} \, dx \]

Сделаем замену \( u = \frac{x}{3} \), тогда \( du = \frac{1}{3} \, dx \), а \( dx = 3 \, du \):

\[ 3 \int \cos u \cdot 3 \, du = 9 \int \cos u \, du = 9 \sin u + C_1 = 9 \sin \frac{x}{3} + C_1 \]

Второй интеграл:

\[ \int \sin(3x) \, dx \]

Сделаем замену \( v = 3x \), тогда \( dv = 3 \, dx \), а \( dx = \frac{1}{3} \, dv \):

\[ \int \sin v \cdot \frac{1}{3} \, dv = \frac{1}{3} \int \sin v \, dv = -\frac{1}{3} \cos v + C_2 = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C_2 \]

Сложив результаты, получим общую первообразную:

\[ F(x) = 9 \sin \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cos(3x) + C \]

Ответ: \( F(x) = 9 \sin \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cos(3x) + C \).