664. Стороны угла A пересечены параллельными прямыми BC и DE, причём точки B и D лежат на одной стороне угла, а C и E – на другой. Найдите: а) AC, если CE = 10 см, AD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если AB = 10 см, AC = 8 см, BC = 4 см, CE = 4 см; в) BC, если AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

а) Нам дано, что BC || DE. По теореме Фалеса, отношение отрезков на одной стороне угла равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне угла. То есть \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\). Так как AE = AC + CE, то \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AC + CE}\). Известно, что \(\frac{BD}{AD} = \frac{CE}{AE}\), поэтому \(\frac{AD}{AB} = \frac{AC + CE}{AC}\). Известно, что \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\). Но \(AD = AB + BD\), поэтому \(\frac{AB}{AB+BD} = \frac{AC}{AC+CE}\). Отсюда: \(\frac{AC}{AE} = \frac{BD}{AD}\) => \(\frac{AC}{AC+CE} = \frac{BD}{AB+BD}\) => \(\frac{AC}{AC+10} = \frac{8}{AB+8}\). Но нам не дано AB, но можно найти AD = AB + BD. Значит \(\frac{AC}{CE} = \frac{AB}{BD}\) => \(\frac{AC}{10} = \frac{AB}{8}\) или \(AC = \frac{10}{8}AB = \frac{5}{4} AB\). Также \(\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AB+AD}\). Подставим известные значения: \(\frac{AC}{AC+10} = \frac{22}{AB+22}\). Используем \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\) => \(\frac{22}{AB} = \frac{AC+10}{AC}\). \(22AC = AB(AC + 10)\). \(\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}\), следовательно, \(\frac{AB}{8} = \frac{AC}{10}\), \(AB = \frac{8}{10}AC = \frac{4}{5}AC\). Подставим в \(\frac{22}{\frac{4}{5}AC} = \frac{AC+10}{AC}\), \(22AC = \frac{4}{5}AC(AC + 10)\) => \(110AC = 4AC^2 + 40AC\). \(4AC^2 - 70AC = 0\). \(AC(4AC-70) = 0\). Значит либо AC = 0, либо AC = 17.5. AC не может быть 0, поэтому AC = 17.5. б) По той же теореме Фалеса \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}\). Отсюда \(\frac{10}{10+BD} = \frac{4}{DE}\). Также \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE}\), подставим \(\frac{10}{8} = \frac{BD}{4}\), тогда \(BD = \frac{10*4}{8} = 5\). Подставляем в первое выражение \(\frac{10}{10+5} = \frac{4}{DE}\), \(DE = \frac{4 * 15}{10} = 6\). Итак, BD = 5 см, DE = 6 см. в) Дано \(\frac{AB}{BD} = \frac{2}{1}\) и DE = 12. \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}\). Так как \(AD = AB + BD\) и \(AB=2BD\), то \(AD = 3BD\). \(\frac{2BD}{3BD} = \frac{BC}{12}\), откуда \(BC = \frac{2}{3} * 12 = 8\). Итак, BC = 8 см. Ответ: а) AC = 17.5 см; б) BD = 5 см, DE = 6 см; в) BC = 8 см.