669. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Пусть высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна h. Центр вписанной окружности делит высоту в отношении 12:5, считая от вершины. Значит, отрезок высоты от вершины до центра равен \(\frac{12}{12+5}h = \frac{12}{17}h\), а отрезок от центра до основания равен \(\frac{5}{17}h\). Пусть основание треугольника равно a, а боковая сторона равна b = 60 см. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является медианой и делит основание пополам. Половина основания равна \(\frac{a}{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. По теореме Пифагора, \(b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\). Из этого следует, что \(60^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\). Радиус вписанной окружности r равен \(\frac{5}{17}h\). С другой стороны, радиус вписанной окружности можно выразить как \(r = \frac{S}{p}\), где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. S = \(\frac{1}{2} * a * h\), p = \(\frac{a + 2b}{2}\). Тогда \(\frac{5}{17}h = \frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{a + 2 * 60}{2}} = \frac{ah}{a + 120}\). Из этого следует, что \(5(a+120) = 17a\), \(5a+600=17a\), \(12a = 600\), a = 50. Тогда \(h^2 = 60^2 - 25^2\), \(h^2 = 3600 - 625\), \(h^2 = 2975\), \(h = \sqrt{2975} = 5\sqrt{119}\). Давайте перепроверим радиус вписанной окружности \(r = \frac{5}{17}h = \frac{5}{17} * 5\sqrt{119} = \frac{25\sqrt{119}}{17}\). Также \(r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} * 50 * 5\sqrt{119}}{\frac{50+2*60}{2}} = \frac{125\sqrt{119}}{17}\). По условию \(\frac{12}{5} = \frac{\frac{12}{17}h}{\frac{5}{17}h}\). Но нам нужно найти основание a. Мы нашли, что a = 50. Ответ: Основание равнобедренного треугольника равно 50 см.