665. Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки A, B и C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ – на прямой b. Докажите, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Прямые AA₁, BB₁, CC₁ параллельны. Рассмотрим треугольники △ABB₁ и △BCC₁. Так как AA₁ || BB₁ || CC₁, то углы ∠ABB₁ = ∠BCC₁ (соответственные углы при параллельных прямых) и ∠BAA₁ = ∠CBB₁.

Следовательно, △ABB₁ ~ △BCC₁ по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{BB_1}{CC_1}\).

Теперь рассмотрим пару треугольников AA₁C₁ и BB₁C₁. Они также подобны, так как AA₁ || BB₁ || CC₁. Значит \(\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{BB_1}{CC_1}\).

Из двух полученных равенств следует \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).